diens elliptiques
car on aurait
![{\displaystyle \mathrm {M_{1}M_{2}M_{3}=M_{1}PM_{2}+M_{2}PM_{3}-M_{1}PM_{3}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a409b58bcacc1ceafc76eba4ae3c4ed167333aa5)
Reste à savoir déterminer l’aire d’une triangle sphéroïdique dont deux côtés sont des arcs de méridiens : or on y parviendra ainsi qu’il suit.
Supposons qu’un tel triangle
PMT, soit partagé en un assez grand nombre d’autres
étant leur nombre ; et que, pour plus de simplicité, les méridiens
divisent l’angle
en parties égales ; on aura alors
![{\displaystyle \varphi _{n}=n\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab50e78bbd8dc0b20904c6a2d63a3135b687a2d)
désignant un de ces angles partiels, et
étant pris de manière que
soit d’un demi-degré au plus. Cela posé chaque aire partielle
sera à très-peu près équivalente à celle de la portion de fuseau ellipsoidique dont
désigne l’angle, et dont l’arc de parallèle intercepté a pour latitude la moyenne
entre celles des points
etc.
Soient de plus
les latitudes respectives des points
qu’on déterminera en résolvant par le VIe cas un triangle sphéroïdique dont on connaîtra deux angles et un côté ; et l’on aura pour l’expression différentielle de l’un de ces fuseaux
![{\displaystyle d\mathrm {T} ={\frac {\varphi \pi b^{2}d.\sin .\psi }{200^{\text{g}}\left(1-e^{2}sin.^{2}\psi \right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c85287a629f6c91c7fb249591025deee5a59ab8)
(Géodésie, p. 335.)
Développant le second membre en série, et intégrant entre les limites
et
on obtiendra définitivement