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Or si à chacune des quantités moyennes $k,z,z',n,$ on applique la méthode exposée au n^o 13 du Supplément à la Géodésie, pour déterminer tant leurs plus grandes erreurs probables $\Delta k,\Delta z,\Delta z',\Delta n,$ que leurs valeurs moyennes $\delta k,\delta z,\delta z',\delta n,$ et qu’on substitue successivement ces erreurs dans la formule (1), la limite de l’erreur de $\mathrm {X}$ sera

(2)

$\Delta \mathrm {X} ={\sqrt {\sum (v\Delta k)^{2}+\sum \left({\frac {k}{2}}\Delta z\right)^{2}+\sum \left({\frac {k}{2}}\Delta z'\right)^{2}+\sum \left({\frac {k^{2}}{2\mathrm {R} }}\Delta n\right)^{2}}},$

et l’erreur moyenne dont cette même différence de niveau pourra être affectée, sera représentée par

(3)

$\delta \mathrm {X} ={\sqrt {\sum (v\delta k)^{2}+\sum \left({\frac {k}{2}}\delta z\right)^{2}+\sum \left({\frac {k}{2}}\delta z'\right)^{2}+\sum \left({\frac {k^{2}}{2\mathrm {R} }}\delta n\right)^{2}}}.$

On aura donc de la sorte la mesure de la précision du nivellement trigonométrique.

Un grand nombre de comparaisons et de vérifications de bases mettent hors de doute que les côtés d’un réseau de triangles sont connus en général à un trente millième près ; ainsi on pourra évaluer $dk$ en faisant $\Delta k=\delta k={\frac {k}{30000}}.$ On pourra en outre supposer que dans $n'-n=dn,$ la valeur de $n$ est la moyenne entre toutes celles $n_{1}\,n_{2}\,n_{3}\ldots n_{(i)}$ qui auront été conclues des distances zénitales réciproques.

Quant aux limites entre lesquelles chacune des valeurs moyennes $z,z',n$ est comprise, elles se trouveront ainsi qu’il suit, d’après la méthode dont on vient de parler.

Soient par exemple $\alpha _{1}\,\alpha _{2}\,\alpha _{3}\ldots$ les différences des distances zénitales observées à la distance zénitale moyenne $z,$ et $\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}\ldots$ les nombres de répétitions qui leur correspondent ; on aura, en appelant $\sigma$ le nombre total de ces répétitions,