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$\mathrm {S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}=S_{5}=S_{6}=S_{7}} =-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}.$

Substituant ces valeurs dans les équations (1), on en tire

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} _{1}=&1+{\sqrt {n}}&\mathrm {A} _{5}=&84001+3613{\sqrt {n}}\\\mathrm {A} _{2}=&631+{\sqrt {n}}&\mathrm {A} _{6}=&836032+10312{\sqrt {n}}\\\mathrm {A} _{3}=&946+106{\sqrt {n}}&\mathrm {A} _{7}=&2633212+69292{\sqrt {n}}\\\mathrm {A} _{4}=&34231+211{\sqrt {n}}\qquad &{\text{etc}}.\end{alignedat}}$

Ainsi les premiers termes des fonctions $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z}$ seront, en faisant $1260=m$

${\begin{aligned}\mathrm {Y} =2x^{m}\ \ +x^{m-1}&+\quad \ \ 631x^{m-2}+946x^{m-3}\\&+\ \ 34231x^{m-4}+84001x^{m-5}\\&+836032x^{m-6}+2633212x^{m-7}+{\text{etc}}.\\\mathrm {Z} =x^{m-1}+x^{m-2}&+\quad 106x^{m-3}+211x^{m-4}\\&+\ \ 3613x^{m-5}+10312x^{m-6}\\&+69292x^{m-7}+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

On voit avec quelle rapidité les coefficients croissent dans l’une et l’autre fonction, mais cet accroissement n’a lieu que jusqu’au terme moyen ; ensuite il fait place à un décroissement semblable, puisque les coefficients doivent être égaux à égale distance des extrêmes.

C’est en effet la loi à laquelle sont assujéties les fonctions $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z} ,$ puisque la substitution de $x^{-1}$ à la place de $x$ dans l’équation $4\mathrm {X} =\mathrm {Y} ^{2}-n\mathrm {Z} ^{2},$ n’y doit apporter aucun changement, après qu’on a fait disparaître le dénominateur commun. On voit par là que dans chaque fonction les coefficients des termes extrêmes ou également éloignés des extrêmes, doivent être égaux ; mais ces coefficients sont-ils précédés du même signe ou de signes différents ? c’est ce qu’il faut examiner.