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de $\mathrm {A} _{7}$ et $\mathrm {A} _{8},$ il faudrait au lieu de $\mu$ substituer l’une des six valeurs $7\nu ,7\nu +1,7\nu +3,7\nu +4,7\nu +5,7\nu +6,$ c’est-à-dire il faudrait subdiviser la forme $n=120\mu +61$ en six autres

$n=840\nu +61,\,181,\,421,\,541,\,661,\,781\,;$

alors $\mathrm {A} _{7}$ contiendrait un terme de l’ordre $\mu ^{3}{\sqrt {n}},$ et $\mathrm {A} _{8}$ un terme de l’ordre $\mu ^{4}.$ Il est inutile d’entrer dans de plus grands détails ; nous déduirons seulement des valeurs précédentes de ${\rm {A_{1},A_{2},\ldots A_{6},}}$ celles des fonctions $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z}$ développées jusqu’à la puissance $x^{m-6}\,;$ elles donnent pour le nombre premier $n=120\mu +61,$

${\begin{aligned}\mathrm {Y} =2x^{m}&+x^{m-1}+(16+30\mu )x^{m-2}-(7+15\mu )x^{m-3}\\&+(32+100\mu +75\mu ^{2})x^{m-4}-\left(20+{\frac {195}{2}}\mu +{\frac {225}{2}}\mu ^{2}\right)x^{m-5}\\&+\left(63+246\mu +280\mu ^{2}+75\mu ^{3}\right)x^{m-6}-{\text{etc}}.\\\mathrm {Z} =x^{m-1}&+(3+5\mu )x^{m-3}-(2+5\mu )x^{m-4}\\&+\left(6+{\frac {29}{2}}\mu +{\frac {15}{2}}\mu ^{2}\right)x^{m-5}-\left(3+14\mu +15\mu ^{2}\right)x^{m-6}\\&-{\text{etc}}.\end{aligned}}$

On en déduirait pour le cas de $n=120\mu -61,$ les formules suivantes qui satisfont à l’équation $4\mathrm {X} =\mathrm {Y} ^{2}+n\mathrm {Z} ^{2},$

${\begin{aligned}\mathrm {Y} =2x^{m}&+x^{m-1}+(16-30\mu )x^{m-2}-(7-15\mu )x^{m-3}\\&+(32-100\mu +75\mu ^{2})x^{m-4}-\left(20-{\frac {195}{2}}\mu +{\frac {225}{2}}\mu ^{2}\right)x^{m-5}\\&+\left(63-246\mu +280\mu ^{2}-75\mu ^{3}\right)x^{m-6}-{\text{etc}}.\\\mathrm {Z} =x^{m-1}&+(3-5\mu )x^{m-3}-(2-5\mu )x^{m-4}\\&+\left(6-{\frac {29}{2}}\mu +{\frac {15}{2}}\mu ^{2}\right)x^{m-5}-\left(3-14\mu +15\mu ^{2}\right)x^{m-6}-{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Dans les deux cas on a fait $m={\frac {1}{2}}(n-1).$