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Enfin, les deux limites d’une intégrale relative à $x$ étant désignées par $x_{0}$ et $x_{1},$ les valeurs qui répondent à ces mêmes limites, de toute quantité $\mathrm {H} ,$ seront représentées, dans ce paragraphe, par $\mathrm {H} _{0}$ à la limite $x_{0},$ et par $\mathrm {H} _{1}$ à la limite $x_{1}.$

(2) Soit actuellement $y$ une fonction de la variable $x\,;$ d’après la notation dont on vient de convenir, on aura

${\frac {dy}{dx}}=y',\qquad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=y'',\qquad {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=y''',{\text{ etc.}}\,;$

désignons par $\mathrm {V}$ une fonction donnée de $x,\,y,\,y',\,y'',\ldots$ jusqu’à un coefficient différentiel d’un ordre déterminé ; soient aussi $x_{0}$ et $x_{1}$ deux quantités constantes ; et considérons l’intégrale définie

$\mathrm {U} =\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {V} dx.$

Si nous regardons $x$ et par suite $y,$ comme des fonctions implicites d’une autre variable $u,$ nous pourrons supposer qu’on ait exprimé, par les règles connues du changement de la variable indépendante, les coefficients différentiels $y',\,y'',\,y''',{\text{ etc.}}$ au moyen de ceux de $x$ et $y$ par rapport à $u\,;$ $\mathrm {V}$ deviendra une fonction de $x$ et $y,$ et de ces derniers coefficients ; et en désignant de plus par $u_{0}$ et $u_{1}$ les valeurs de $u$ qui répondent à $x=x_{0}$ et $x=x_{1},$ nous aurons

$\mathrm {U} =\int _{u_{0}}^{u_{1}}\mathrm {V} {\frac {dx}{du}}du.$

Cela posé, soient $\delta x$ et $\delta y$ des fonctions arbitraires et infiniment petites de $u\,;$ sans changer $u_{0}$ et $u_{1},$ mettons $x+\delta x$