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§ I^er.

Variations des intégrales relatives à une seule variable indépendante, et détermination de leurs maxima et minima.

(1) Conformément à la notation de Lagrange, la caractéristique \delta indiquera une variation infiniment petite qui pourra être une fonction arbitraire de la variable indépendante, ou des variables indépendantes, quand il y en aura plusieurs. Les variations étant infiniment petites, on négligera leurs carrés et leurs produits, et la variation d’une fonction donnée de plusieurs quantités s’obtiendra par les mêmes règles que sa différentielle. Si donc on a

$\operatorname {L} =\operatorname {F} (x,y,z,{\text{etc.}}),$

la différentielle complète de $\operatorname {L}$ sera

$d\operatorname {L} ={\frac {d\operatorname {L} }{dx}}dx+{\frac {d\operatorname {L} }{dy}}dy+{\frac {d\operatorname {L} }{dz}}dz+{\text{etc.}},$

et sa variation aura pour valeur :

$\delta \operatorname {L} ={\frac {d\operatorname {L} }{dx}}\delta x+{\frac {d\operatorname {L} }{dy}}\delta y+{\frac {d\operatorname {L} }{dz}}\delta z+{\text{etc.}}$

Si $\mathrm {K}$ est une fonction de la variable $x$ et d’autres quantités dépendantes de $x,$ nous représenterons par $\mathrm {K',K'',K'''} ,{\text{etc.}},$ les coefficients différentiels de $\mathrm {K}$ pris par rapport à $x$ et à tout ce qui en dépend, de sorte que nous aurons

${\frac {d\operatorname {K} }{dx}}=\operatorname {K} ',\qquad {\frac {d\operatorname {K'} }{dx}}=\operatorname {K} '',\qquad {\frac {d\operatorname {K''} }{dx}}=\operatorname {K} ''',{\text{etc.}}$