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Il en résultera donc

${\begin{aligned}\delta \mathrm {V} =(\mathrm {M} &+\mathrm {N} y'+\mathrm {P} y''+\mathrm {Q} y'''+{\text{etc.}})\delta x\\&+\mathrm {N\omega +P\omega '+Q\omega ''} +{\text{etc.}}\end{aligned}}$

Le coefficient de $\delta x$ n’est autre chose que le coefficient différentiel $\mathrm {V} '$ de $\mathrm {V} ,$ pris en regardant $y,y',y'',{\text{etc.}},$ comme des fonctions de $x\,;$ d’ailleurs on a

${\frac {d\mathrm {V} }{du}}=\mathrm {V} '{\frac {dx}{du}}\,;$

on aura donc

$\delta \mathrm {V} {\frac {dx}{du}}={\frac {d\mathrm {V} }{du}}\delta x+(\mathrm {N} \omega +\mathrm {P} \omega '+\mathrm {Q} \omega ''+{\text{etc.}}){\frac {dx}{du}}\,;$

et la formule (1) deviendra

$\delta \mathrm {U} =\int _{u_{0}}^{u_{1}}\left({\frac {d\mathrm {V} }{du}}\delta x+\mathrm {V} {\frac {d\delta x}{du}}\right)du+\int _{u_{0}}^{u_{1}}(\mathrm {N} \omega +\mathrm {P} \omega '+\mathrm {Q} \omega ''+{\text{etc.}}){\frac {dx}{du}}du.$

Donc, à cause de

${\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {V} }{du}}\delta x+\mathrm {V} {\frac {d\delta x}{du}}={\frac {d.\mathrm {V} \delta x}{du}},\\&\int _{u_{0}}^{u_{1}}{\frac {d.\mathrm {V} \delta x}{du}}du=\mathrm {V} _{1}\delta x_{1}-\mathrm {V} _{0}\delta x_{0},\end{aligned}}$

et en rapportant à la variable $x,$ la seconde intégrale contenue dans $\delta \mathrm {U} ,$ nous aurons

$\delta \mathrm {U} =\mathrm {V} _{1}\delta x_{1}-\mathrm {V} _{0}\delta x_{0}+\int _{x_{0}}^{x_{1}}(\mathrm {N} \omega +\mathrm {P} \omega '+\mathrm {Q} \omega ''+{\text{etc.}})dx.$