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Par le procédé de l’intégration par partie, on pourra faire disparaître les coefficients différentiels $\omega ',\omega '',{\text{etc.}},$ contenus sous le signe $\int .$ En effet, on a

${\begin{aligned}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {P} \omega 'dx=&\mathrm {P} _{1}\omega _{1}-\mathrm {P} _{0}\omega _{0}-\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {P} '\omega dx,\\\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {Q} \omega 'dx=&\mathrm {Q_{1}\omega '_{1}-Q_{0}\omega '_{0}-Q'_{1}\omega _{1}+Q'_{0}\omega _{0}} +\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {Q} ''\omega dx,\end{aligned}}$

etc. ;

d’où l’on conclut finalement

$\delta \mathrm {U} =\Gamma +\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {H} \omega dx,\qquad$(3)

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {H} =&\mathrm {N-P'+Q''-R'''} +{\text{etc.}},\\\Gamma =&\mathrm {V} _{1}\delta x_{1}-\mathrm {V} _{0}\delta x_{0}\\&+(\mathrm {P_{1}-Q'_{1}+R''_{1}} -{\text{etc.}})\omega _{1}-(\mathrm {P_{0}-Q'_{0}+R''_{0}} -{\text{etc.}})\omega _{0}\\&+(\mathrm {Q_{1}-R'_{1}} +{\text{etc.}})\omega '_{1}-(\mathrm {Q_{0}-R'_{0}} +{\text{etc.}})\omega '_{0}\\&+(\mathrm {R_{1}} -{\text{etc.}})\omega ''_{1}-(\mathrm {R_{0}} -{\text{etc.}})\omega ''_{0}\\&+{\text{etc.}}\end{aligned}}$

(3) Il nous reste à démontrer l’équation (2). Or, on a

$y'={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}:{\frac {dx}{du}}\,;$

si donc on met $x+\delta x$ et $y+\delta y$ à la place de $x$ et $y$ dans cette fraction, que l’on en retranche cette fraction même, et qu’on néglige les infiniment petits du second ordre, on en déduira