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$\delta y'={\frac {d.\delta y}{du}}:{\frac {dx}{du}}-{\frac {dy}{du}}{\frac {d\delta x}{du}}:{\frac {dx^{2}}{du^{2}}}.$

Mais, par hypothèse, on a aussi

$\delta y=y'\delta x+\omega \,;$

en différentiant cette équation par rapport à $u,$ il vient

${\frac {d\delta y}{du}}={\frac {dy'}{du}}\delta x+{\frac {d\omega }{du}}+y'{\frac {d\delta x}{du}}\,;$

d’où l’on conclut

$\delta y'={\frac {dy'}{du}}\delta x:{\frac {dx}{du}}+{\frac {d\omega }{du}}:{\frac {dx}{du}}+\left(y'{\frac {dx}{du}}-{\frac {dy}{du}}\right){\frac {d\delta x}{du}}:{\frac {dx^{2}}{du^{2}}}\,;$

et à cause de

${\frac {dy'}{du}}:{\frac {dx}{du}}={\frac {dy'}{dx}}=y'',\qquad {\frac {d\omega }{du}}:{\frac {dx}{du}}=\omega ',\qquad y'={\frac {dx}{du}}={\frac {dy}{du}},$

cette valeur de $\delta y'$ se réduit à

$\delta y'=y''\delta x+\omega '.$

En partant de cette formule et de l’équation

$y''={\frac {dy'}{du}}:{\frac {dx}{du}},$

on trouvera de même

$\delta y''=y'''\delta x+\omega ''\,;$

et, en continuant ainsi, l’équation (2) se trouvera démontrée pour un indice quelconque $n.$

Оn pourra, daus la formule (3), remplacer $\omega$ sous le signe $\int ,$ par sa valeur

$\omega =\delta y-y'\delta x,$