Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 12.djvu/351

La variation $\theta '$ fera aussi varier $\mathrm {T} _{\text{ı}}$ de

$\mathrm {G} _{\text{ı}}{\frac {\theta '}{dx^{2}}},$

d’après l’expression de ${\frac {d^{2}t_{\text{ı}}}{dx^{2}}}.$ Ces variations de $t'$ et $t''$ n’en feront éprouver aucune à $\mathrm {T} _{\text{ıı}}\,;$ par conséquent, à la limite $x=x_{1},$ la formule $(b)$ appliquée à la somme des trois éléments consécutifs $\mathrm {T} _{\text{ıı}}dx,\,\mathrm {T} _{\text{ı}}dx,\,\mathrm {T} dx,$ devra être augmentée de la somme des trois quantités précédentes, multipliées par $dx.$ Cette somme peut s’écrire ainsi :

$\left[\mathrm {F} -{\frac {\mathrm {(G-G_{\text{ı}})} }{dx}}\right]\theta '+{\frac {\mathrm {G} (\theta ''-\theta ')}{dx}}\,;$

mais à cette limite, on a, d’après les notations du n^o 2,

$\mathrm {F=P_{\text{ı}},\qquad G=Q_{\text{ı}}} ,\qquad {\frac {\mathrm {G-G_{\text{ı}}} }{dx}}=\mathrm {Q} '_{\text{ı}}\,;$

et de plus, $\omega _{\text{ı}}$ et $\omega '_{\text{ı}}$ désignant les valeurs de $\omega$ et ${\frac {d\omega }{dx}}$ qui répondent à $x=x_{\text{ı}},$ ces quantités pourront être prises pour $\theta '$ et ${\frac {\theta ''-\theta '}{dx}}$ dont elles ne différeront que d’un infiniment petit ; la quantité dont il faudra augmenter la formule $(b),$ à raison des trois derniers éléments de $\mathrm {U}$ sera donc

$\mathrm {(P_{\text{ı}}-Q'_{\text{ı}})\omega _{\text{ı}}+Q_{\text{ı}}\omega '_{\text{ı}}} .$

Relativement aux trois premiers éléments de cette intégrale, on verra de même que cette formule devra être diminuée de

$\mathrm {(P_{0}-Q'_{0})\omega _{0}+Q_{0}\omega '_{0}} .$

$\omega _{0},\,\omega '_{0},$ etc., étant les valeurs de $\omega ,\,{\frac {d\omega }{dx}},$ etc., qui répondent à