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$x=x_{0}.$ D’ailleurs, pour tenir compte des accroissements $\delta x_{0}$ et $dx_{\text{ı}}$ des deux limites de $\mathrm {U}$ il faudra augmenter sa variation du produit $\mathrm {V} _{\text{ı}}\delta x_{\text{ı}},$ et la diminuer du produit $\mathrm {V} _{0}\delta x_{0}.$ Par conséquent la variation complète de $\mathrm {U}$ aura pour expression :

${\begin{aligned}\delta \mathrm {U} =\mathrm {V} _{\text{ı}}\delta x_{\text{ı}}-\mathrm {V} _{0}\delta x_{0}+\mathrm {(P_{\text{ı}}-Q'_{\text{ı}})\omega _{\text{ı}}-(P_{0}-Q'_{0})\omega _{0}} &\\+\mathrm {Q} _{\text{ı}}\omega '_{\text{ı}}-\mathrm {Q} _{0}\omega '_{0}+\int _{x_{0}}^{x_{\text{ı}}}\mathrm {\left(N-P'+Q''\right)} \omega dx.&\end{aligned}}$

Pour, que cette expression coïncide avec la formule (3), il suffira que les quantités $\omega ,\,\omega _{0},\,\omega '_{0},\,\omega _{\text{ı}},\,\omega '_{\text{ı}},$ soient les mêmes dans les deux cas. Or, $\omega$ est maintenant la différence de deux valeurs de $y$ correspondantes à une même valeur de $x\,;$ en sorte que si $x$ et $y$ sont les coordonnées d’un point quelconque d’une courbe donnée, $y+\omega$ sera l’ordonnée qui répondra à la même abscisse $x$ après que la courbe aura changé de forme. Si donc on désigne par $y+\delta y$ l’ordonnée du point de la nouvelle courbe qui répond à l’abscisse $x+\delta x,$ cette ordonnée sera ce que devient $y+\omega$ quand on y met $x+\delta x$ à la place de $x,$ et, par la formule de Taylor, on aura

$y+\delta y=y+\omega +{\frac {d(y+\omega )}{dx}}+\delta x+$etc. ;

d’où l’on tire, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

$\omega =\delta y-y'\delta x.$

De même, en désignant par $y'+\delta y'$ le premier coefficient différentiel de l’ordonnée, qui répond, dans la nouvelle courbe, à l’abscisse $x+\delta x,$ et observant que $y'+\omega '$ est la