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lorsque $\mathrm {V}$ renfermera explicitement quelques-unes des quantités $x_{0},\,x_{\text{ı}},\,y_{0},$ $y_{\text{ı}},$ etc.

L’équation $\delta \mathrm {U} =0,$ relative au maximum et au maximum de $\mathrm {U}$ exigera d’abord que l’on ait

$\mathrm {H} (\delta y-y'\delta x)+\mathrm {K} (\delta z-z'\delta x)=0,\qquad$(6)

dans toute l’étendue de cette intégrale, et, en particulier, $\Gamma =0$ à ses limites.

Soit $\mathrm {L}$ une fonction donnée de $x,y,z\,;$ et supposons que les deux inconnues $y$ et $z$ soient liées entre elles par l’équation $\mathrm {L} =0.$ Il faudra que l’on ait $\delta \mathrm {L} =0,$ c’est-à-dire,

${\frac {d\mathrm {L} }{dx}}\delta x+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}\delta y+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}\delta z=0.$

Mais en différentiant l’équation $\mathrm {L} =0$ par rapport à $x,$ on aura aussi

${\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}y'+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}z'=0\,;$

ce qui permettra de changer l’équation précédente en celle-ci :

${\frac {d\mathrm {L} }{dy}}(\delta y-y'\delta x)+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}(\delta z-z'\delta x)=0,$

au moyen de laquelle on éliminera l’une des deux quantités $\delta y-y'\delta x$ ou $\delta z-z'\delta x$ qui sont contenues dans l’équation (6). On égalera ensuite le coefficient de l’autre quantité à zéro, ou, ce qui revient au même, on ajoutera ces deux équations après avoir multiplié l’une d’elles par un coefficient indéterminé à ; puis on égalera séparément à zéro, les coefficients des deux quantités $\delta y-y'\delta x$ et $\delta z-z'\delta x.$ On aura,