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des deux autres, en vertu de l’équation (7) qui caractérise la fonction $\mathrm {V}$.

(9) En s’en tenant toujours au cas de deux inconnues $y$ et $z,$ et les supposant liées entre elles par l’équation donnée $\mathrm {L} =0,$ on peut maintenant supposer que $\mathrm {L}$ renferme aussi leurs coefficients différentiels $y',y'',$ etc., $z',z'',$ etc. Alors, si l’on fait

$\delta y=y'\delta x+\omega ,\qquad \delta z=z'\delta x+\varphi ,$

on aura (n^o 3), pour un indice $i$ quelconque,

$\delta y^{(i)}=y^{(i+1)}\delta x+\omega ^{(i)},\qquad \delta z^{(i)}=z^{(i+1)}\delta x+\varphi ^{(i)}\,;$

et l’équation $\delta \mathrm {L} =0$ prendra la forme :

$\left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}y'+{\frac {d\mathrm {L} }{dy'}}y''+{\text{etc}}.+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}z'+{\frac {d\mathrm {L} }{dz'}}z''+{\text{etc}}.\right)\delta x$

$+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}\omega +{\frac {d\mathrm {L} }{dy'}}\omega '+{\text{etc}}.+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}\varphi +{\frac {d\mathrm {L} }{dz'}}\varphi '+{\text{etc}}.=0.$

La partie multipliée par $\delta x$ est nulle en vertu de l’équation $\delta \mathrm {L} =0\,;$ ce qui réduit cette équation à

$\alpha \omega +\beta \omega '+\gamma \omega ''+{\text{etc}}.+\mu \varphi +\nu \varphi '+\varpi \varphi ''+{\text{etc}}.=0,\qquad$(8)

en faisant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}=&\alpha ,\qquad &{\frac {d\mathrm {L} }{dy'}}=&\beta ,\qquad &{\frac {d\mathrm {L} }{dy''}}=&\gamma ,{\text{ etc.}},\\{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}=&\mu ,\qquad &{\frac {d\mathrm {L} }{dz'}}=&\nu ,\qquad &{\frac {d\mathrm {L} }{dz''}}=&\varpi ,{\text{ etc.}}\end{alignedat}}$

Lorsqu’on pourra intégrer l’équation (8), on en déduira la valeur de l’une des quantités $\omega$ et $\varphi ,$ au moyen de l’autre et de ses coefficients différentiels. On substituera cette valeur dans l’expression de $\delta \mathrm {U} \,;$ et si c’est $\varphi$ que l’on a éliminé, ou