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cause que l’équation $\mathrm {H} =0$ fait disparaître le second terme de cette formule (3), on aura donc

${\begin{aligned}\mathrm {X} ^{(n+1)}-\mathrm {X} ^{(n)}=&\mathrm {C} ^{(n)}+\omega \Phi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.)\\&+\omega '\Psi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.)+\omega ''\Pi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.)\\&+{\text{etc}}.+\Omega ^{(n)}\,;\end{aligned}}$

$\mathrm {C} ^{(n)}$ étant une constante par rapport à $x,$ mais qui pourra dépendre de $n,$ et $\Omega ^{(n)}$ désignant, s’il est nécessaire d’y avoir égard, la partie de l’accroissement de $\mathrm {X} ^{(n)}$ qui renfermerait les quantités du second ordre et des ordres supérieurs par rapport à $\omega ,\omega ',\omega '',$ etc., laquelle partie ne peut être qu’un infiniment petit du second ordre au moins, que l’on avait négligé dans la formule (3).

Je fais successivement $n=0,\,n=1,\,n=2,\ldots$ jusqu’à un nombre déterminé $i-1,$ dans l’équation précédente, et je prends la somme des résultats ; ce qui donne

${\begin{aligned}\mathrm {X} ^{(i)}-\mathrm {X} ^{(0)}&=\mathrm {C^{(0)}+C^{(1)}+C^{(2)}+\ldots +C^{(i-1)}} \\&+\omega \sum _{0}^{i-1}\Phi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.)\\&+\omega '\sum _{0}^{i-1}\Psi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.)\\&+\omega ''\sum _{0}^{i-1}\Pi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.)\\&+{\text{etc}}.\\&+\Omega ^{(0)}+\Omega ^{(1)}+\Omega ^{(2)}+\ldots +\Omega ^{(i-1)}.\end{aligned}}$

Je suppose actuellement que $i$ devienne un nombre infini. Il sera toujours permis de supprimer la dernière partie de cette formule, parce que chacune des quantités $\Omega ^{(0)},\,\Omega ^{(1)}$ etc.,