Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 12.djvu/374

étant au moins infiniment petite du second ordre, leur somme reste encore infiniment petite, quoiqu’elles soient en nombre infini. De plus, on pourra, sans erreur, étendre les sommes $\Sigma$ depuis $n=0$ jusqu’à $n=i,$ à cause du facteur infiniment petit par lequel chacune d’elles est multipliée. En remplaçant donc par une constante arbitraire $\mathrm {C} ,$ la première partie de la formule précédente, nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {X} ^{(i)}=&\mathrm {X} ^{(0)}+\mathrm {C} +\sum _{0}^{i}\left[\omega \Phi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.)\right.\\&\left.+\omega '\Psi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.)+\omega ''\Pi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.)+{\text{etc}}.\right]\end{aligned}}$

Soit $\varepsilon$ une quantité infiniment petite et indépendante de $x$ ; on pourra faire

${\frac {\omega }{\varepsilon }}=y,\qquad {\frac {\omega '}{\varepsilon }}=y',\qquad {\frac {\omega ''}{\varepsilon }}=y'',{\text{ etc}}\,;$

et si l’on suppose qu’on ait $i\varepsilon =1,$ il en résultera

${\begin{aligned}\mathrm {X} ^{(i)}=&\int _{c}^{x}\operatorname {F} (x,y,y',y'',{\text{etc}}.)dx=\int _{c}^{x}\mathrm {V} dx,\\\mathrm {X} ^{(0)}=&\int _{c}^{x}\operatorname {F} (x,0,0,0,{\text{etc}}.)dx.\end{aligned}}$

Faisons enfin $n\varepsilon =u.$ La somme $\Sigma$ se changera en une somme relative à $u$ dans laquelle cette variable croîtra par des différences infiniment petites, constantes et égales à $\varepsilon \,;$ ou bien, en prenant $\varepsilon$ pour la différentielle $du,$ cette somme $\Sigma$ se transformera en une intégrale définie qui s’étendra depuis $u=0$ jusqu’à $u=i\varepsilon =1.$ Nous aurons donc finalement