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différentiels de $y$ et $z\,;$ les plus élevés qui se trouvent dans $\mathrm {V} .$ Dans le cas de la fonction différentielle du premier ordre, on aura donc

$\mathrm {V} =f(x,y,z)+y'f_{1}(x,y,z)+z'f_{2}(x,y,z),$

où l’on désigne par $f,\,f_{1},\,f_{2},$ des fonctions données. On en déduit

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {N} =&{\frac {df}{dy}}+y'{\frac {df_{1}}{dy}}+z'{\frac {df_{2}}{dy}},\qquad &\mathrm {P} =&f_{1}(x,y,z),\qquad &\mathrm {Q} =&0,{\text{etc}}.,\\n=&{\frac {df}{dy}}+y'{\frac {df_{1}}{dy}}+z'{\frac {df_{2}}{dy}},&p=&f_{2}(x,y,z),&q=&0,{\text{etc}}.,\end{alignedat}}$

et, par conséquent,

${\begin{alignedat}{6}\mathrm {H} =&{\frac {df}{dy}}&&+y'{\frac {df_{1}}{dy}}&&+z'{\frac {df_{2}}{dy}}&&-{\frac {ddf_{1}}{dx}}&&-y'{\frac {ddf_{1}}{dy}}&&-z'{\frac {ddf_{1}}{dz}},\\\mathrm {K} =&{\frac {df}{dz}}&&+y'{\frac {df_{1}}{dz}}&&+z'{\frac {df_{2}}{dz}}&&-{\frac {ddf_{2}}{dx}}&&-y'{\frac {ddf_{2}}{dy}}&&-z'{\frac {ddf_{2}}{dz}},\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{2}\Phi (x,y,y',z,z')=&f_{1}(x,y,z),\qquad &\Psi (x,y,y',z,z')=&0,{\text{ etc}}.\\\varphi (x,y,y',z,z')=&f_{2}(x,y,z),&\psi (x,y,y',z,z')=&0,{\text{ etc}}.\\\end{alignedat}}$

L’équation $\mathrm {H} =0$ devant être identique, elle se décompose en deux autres, savoir :

${\frac {df}{dy}}={\frac {df_{1}}{dx}},\qquad {\frac {df_{2}}{dy}}={\frac {df_{1}}{dz}}\,;$

et l’équation $\mathrm {K} =0$ se réduit à

${\frac {df}{dz}}={\frac {df_{2}}{dx}}.$

Mais les deux équations provenant de $\mathrm {H} =0$ donnent

${\frac {d^{2}f}{dydz}}={\frac {d^{2}f_{1}}{dxdz}},\qquad {\frac {d^{2}f_{2}}{dydx}}={\frac {d^{2}f_{1}}{dzdx}}.$