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${\begin{aligned}\int _{0}^{1}&\left[\Phi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,z,z',{\text{etc}}.)-\Phi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,0,0,{\text{etc}}.)\right]ydu\\+&\int _{0}^{1}[\Psi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,z,z',{\text{etc}}.)-\Psi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,0,0,{\text{etc}}.)]y'du\\&\qquad +{\text{etc}}.=\\\int _{0}^{1}&\left[\varphi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,z,z',{\text{etc}}.)-\varphi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,0,0,{\text{etc}}.)\right]ydu\\+&\int _{0}^{1}[\psi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,z,z',{\text{etc}}.)-\psi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,0,0,{\text{etc}}.)]y'du\\&\qquad +{\text{etc}}.\end{aligned}}$(12)

2^o  D’après la manière dont on a formé l’équation (11), il suffit pour qu’elle ait lieu, que l’équation $\mathrm {H} =0$ soit identique et que $\mathrm {K} =0$ subsiste seulement pour une valeur particulière de $y,$ telle que $y=0\,;$ mais d’un autre côté, pour l’intégrabilité de $\mathrm {V} dx,$ il est nécessaire que les deux quantités $\mathrm {H}$ et $\mathrm {K}$ soient identiquement nulles ; il en faut donc conclure que si l’une des deux équations $\mathrm {H} =0$ et $\mathrm {K} =0,$ la première, par exemple, est identique, et que l’autre ait lieu pour $y=0,$ cette seconde équation aura également lieu pour toutes les valeurs de $y$ et sera identique comme la première.

Nous allons vérifier sur un exemple, ces deux propositions qui n’étaient pas encore connues, et qu’il serait facile d’étendre à des fonctions différentielles de quatre ou d’un plus grand nombre de variables.

(12) D’après la forme des quantités $\mathrm {H}$ et $\mathrm {K}$ (nº 7), il est d’abord aisé de s’assurer qu’elles ne peuvent être identiquement nulles à moins que $\mathrm {V}$ ne soit une fonction linéaire par rapport à $y^{(m)}$ et $z^{(n)}\,;$ $m$ et $n$ étant les indices des coefficients