née par une équation différentielle du premier ordre, sa valeur comportera une constante arbitraire qui se trouvera remplacée par la constante et qui se déterminera d’après la valeur donnée de
(15) Les premiers géomètres qui ont déterminé une courbe correspondante au maximum ou au minimum d’une intégrale prise dans toute sa longueur, se sont contentés de faire varier l’ordonnée d’un seul point quelconque de cette courbe considérée comme un polygone d’un nombre infini de côtés infiniiment petits, et d’égaler à zéro la variation qui en résultait pour l’intégrale. Lorsqu’on a ajouté à la condition du maximum ou du minimum de cette intégrale, celle d’une longueur donnée de la courbe demandée, Jacques Bernouilli a fait voir que pour satisfaire en même temps à ces deux conditions, il fallait faire varier les ordonnées de deux points consécutifs, et non pas, comme son frère le croyait, l’abscisse et l’ordonnée d’un seul point. En général, si plusieurs intégrales relatives à la longueur de la courbe du maximum ou du minimum, ont des valeurs données, et que l’abscisse d’un point quelconque soit regardée comme la variable indépendante, il faudra faire varier à la fois les ordonnées d’un nombre de points consécutifs égal au nombre de ces intégrales augmenté d’une unité, puis égaler à zéro la variation correspondante de chacune des intégrales qui doit demeurer constante, et celle de l’intégrale qui doit être un maximum ou un minimum. C’est en partant de ce principe qu’Euler a ramené le problème des isopérimètres, pris dans son acception la plus étendue, à une question de maximum ou du minimum absolu.
