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En effet, prenons pour exemple le cas de trois intégrales

$\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {V} dx,\qquad \int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {T} dx,\qquad \int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {W} dx,$

dont la première doit être un maximum ou un minimum, tandis que les deux autres auront des valeurs données, et où $\mathrm {V,\,T,\,W} ,$ sont des fonctions données de $x,\,y,\,y',\,y'',$ etc. Après avoir remplacé les coefficients différentiels $y,\,y',\,y'',$ etc., par les différences première, seconde, etc., des valeurs consécutives de $y,$ divisées par $dx,\,dx^{2},$ etc., supposons qu’on fasse varier arbitrairement trois des valeurs de $y,$ et désignons par $\omega ,\,\theta ,\,\psi ,$ leurs accroissements. Nous pourrons représenter par

${\begin{aligned}p\omega +&p_{1}\theta +p_{2}\psi ,\\q\omega +&q_{1}\theta +q_{2}\psi ,\\r\omega +&r_{1}\theta +r_{2}\psi ,\end{aligned}}$

les variations correspondantes des trois intégrales ; les neuf coefficients $p,\,p_{1},$ etc., étant de certaines fonctions des valeurs de $y$ qui ont varié et des valeurs correspondantes de $x.$ Mais si l’on a fait varier trois valeurs consécutives de $y,$ c’est-à-dire, trois valeurs correspondantes à $x,\,x+dx,\,x+2dx,$ et que $\omega$ appartienne à la première, $\theta$ à la seconde, et $\psi$ à la troisième, il est évident que $p_{1},\,q_{1},\,r_{1},$ devront se déduire de $p,\,q,\,r,$ et $p_{2},\,q_{2},\,r_{2},$ de $p_{1},\,q_{1},\,r_{1},$ par la substitution de $x+dx$ à $x,$ en sorte que nous aurons

${\begin{alignedat}{3}p_{1}=&p+dp,\qquad &p_{2}=&p_{1}+dp_{1}&&=p+2dp+d^{2}p,\\q_{1}=&q+dq,\qquad &q_{2}=&q_{1}+dq_{1}&&=q+2dq+d^{2}q,\\r_{1}=&r+dr,\qquad &r_{2}=&r_{1}+dr_{1}&&=r+2dr+d^{2}r.\end{alignedat}}$

Il résulte de là que les trois équations qu’on obtiendra en