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égalant à zéro les variations des trois intégrales, d’après les conditions du problème, pourront s’écrire ainsi :

${\begin{alignedat}{3}(\omega +\theta +y)p+&(\theta +2\psi )dp&&+\psi d^{2}p&&=0,\\(\omega +\theta +y)q+&(\theta +2\psi )dq&&+\psi d^{2}q&&=0,\\(\omega +\theta +y)r+&(\theta +2\psi )dr&&+\psi d^{2}r&&=0.\end{alignedat}}$

J’élimine entre elles $\omega +\theta +\psi \,;$ il vient

${\begin{alignedat}{2}(\theta +2\psi )(pdq-qdp)+&\psi d(pdq-qdp)=0,\\(\theta +2\psi )(pdr-rdp)+&\psi d(pdr-rdp)=0\,;\end{alignedat}}$

j’élimine de même $\theta +2\psi$ entre celles-ci, et je supprime le facteur $\psi$ de l’équation résultante ; on a

$(pdr-rdp)d(pdq-gdp)-(pdq-qdp)d(pdr-rdp)=0.$

En désignant par $c$ la constante arbitraire, l’intégration donne

$pdq-qdp+c(pdr-rdp)=0,$

ou, ce qui est la même chose,

$p(dq+cdr)-(q+cr)dp=0.$

Intégrant de nouveau, appelant $a$ la constante arbitraire, et mettant $b$ à la place de $ac,$ on a finalement

$p+aq+br=0\,;$

équation qui est celle du maximum ou du minimum absolu de l’intégrale

$\int _{x_{0}}^{x_{1}}(\mathrm {V} +a\mathrm {T} +b\mathrm {W} )dx\,;$

ce qu’il s’agissait de trouver.