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deux crochets. Ainsi, parmi les quatre intégrales simples

$\left(\int \mathrm {K} dx\right),\quad \left(\int \mathrm {K} dy\right),\quad \left[\int \mathrm {K} dx\right],\quad \left[\int \mathrm {K} dy\right],$

les deux premières appartiendront à la courbe intérieure et s’étendront à son contour entier, et les deux dernières s’étendront au contour entier de la courbe extérieure. Je désignerai, pour un moment, par $\mathrm {A} =0$ et $B=0,$ les équations des projections de ces deux courbes sur le plan des $x$ et $y.$

Si l’on remplace $x$ et $y$ par des fonctions de deux autres variables indépendantes $u$ et $v,$ la troisième coordonnées deviendra aussi une fonction de $u$ et $v.$ En substituant les valeurs de $x$ et $y$ dans les équations $\mathrm {A} =0$ et $\mathrm {B} =0$ des courbes limites, on aura deux équations $\mathrm {C} =0$ et $\mathrm {D} =0$ qui détermineront les limites de l’intégrale relative à $u$ et $v.$ Réciproquement, l’équation de la surface résultera de l’élimination de $u$ et $v$ entre les valeurs de $x,\,y,\,z\,;$ et les équations $\mathrm {A} =0$ et $\mathrm {B} =0$ des courbes limites de l’intégrale relative à $x$ et $y,$ s’obtiendront en éliminant $u$ et $v$ entre les valeurs de $x$ et $y$ et les équations $\mathrm {C} =0$ et $\mathrm {D} =0.$

Cela posé, si l’on désigne par $\delta dx,\,\delta dy,\,\delta dz,$ des fonctions arbitraires et infiniment petites de $u$ et $v,$ et si l’an suppose que $x,\,y,\,z,$ deviennent $x+\delta x,\,y+\delta y,\,z+\delta z,$ l’équation de la nouvelle surface résultera de l’élimination de $u$ et $v$ entre les valeurs de $x+\delta x,\,y+\delta y,\,z+\delta z\,;$ en sorte que sa forme différera infiniment peu, mais d’une manière entièrement arbitraire, de celle de la surface primitive. En même temps, si l’on n’a pas changé les équations $\mathrm {C} =0$ et $\mathrm {D} =0,$ celles des nouvelles courbes limites résulteront de