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${\begin{aligned}z'=&{\frac {1}{\zeta }}\left({\frac {dz}{du}}{\frac {dy}{dv}}-{\frac {dz}{dv}}{\frac {dy}{du}}\right)\\z_{_{'}}=&{\frac {1}{\zeta }}\left({\frac {dz}{dv}}{\frac {dx}{du}}-{\frac {dz}{du}}{\frac {dx}{dv}}\right),\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger,

$\zeta ={\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dv}}-{\frac {dx}{dv}}{\frac {dy}{du}}.$

Maintenant, si l’on représente par $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ trois fonctions arbitraires et infiniment petites de $u$ et $v,$ on pourra supposer, sans faire varier $u$ et $v,$ que $x,\,y,\,z,$ deviennent simultanément $x+\delta x,\,y+\delta y,\,z+\delta z.$ Or, si l’on différentie, par rapport à la caractéristique $\delta ,$ la valeur précédente de $z'$ et que l’on ait égard à cette valeur et à celle de $z_{_{'}},$ on trouve

${\begin{aligned}\delta z'&={\frac {1}{\zeta }}\left({\frac {dy}{dv}}{\frac {d\delta z}{du}}-{\frac {dy}{du}}{\frac {d\delta z}{dv}}\right)\\&-{\frac {z'}{\zeta }}\left({\frac {dy}{dv}}{\frac {d\delta x}{du}}-{\frac {dy}{du}}{\frac {d\delta x}{dv}}\right)\\&-{\frac {z_{_{'}}}{\zeta }}\left({\frac {dy}{dv}}{\frac {d\delta y}{du}}-{\frac {dy}{du}}{\frac {d\delta y}{dv}}\right).\end{aligned}}$

Mais on peut aussi considérer $u$ et $v,$ et par conséquent, $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ comme des fonctions de $x$ et $y\,;$ alors on a

${\begin{aligned}{\frac {d\delta x}{du}}=&{\frac {d\delta x}{dx}}{\frac {dx}{du}}+{\frac {d\delta x}{dy}}{\frac {dy}{du}},\\{\frac {d\delta x}{dv}}=&{\frac {d\delta x}{dx}}{\frac {dx}{dv}}+{\frac {d\delta x}{dy}}{\frac {dy}{dv}},\\{\frac {d\delta y}{du}}=&{\frac {d\delta y}{dx}}{\frac {dx}{du}}+{\frac {d\delta y}{dy}}{\frac {dy}{du}},\\{\frac {d\delta y}{dv}}=&{\frac {d\delta y}{dx}}{\frac {dx}{dv}}+{\frac {d\delta y}{dy}}{\frac {dy}{dv}},\\{\frac {d\delta z}{du}}=&{\frac {d\delta z}{dx}}{\frac {dx}{du}}+{\frac {d\delta z}{dy}}{\frac {dy}{du}},\\{\frac {d\delta z}{dv}}=&{\frac {d\delta z}{dx}}{\frac {dx}{dv}}+{\frac {d\delta z}{dy}}{\frac {dy}{dv}}\,;\end{aligned}}$