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d’où l’on tire

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dv}}{\frac {d\delta x}{du}}-{\frac {dy}{du}}{\frac {d\delta x}{dv}}=\zeta {\frac {d\delta x}{dx}},\\{\frac {dy}{dv}}{\frac {d\delta y}{du}}-{\frac {dy}{du}}{\frac {d\delta y}{dv}}=\zeta {\frac {d\delta y}{dx}},\\{\frac {dy}{dv}}{\frac {d\delta z}{du}}-{\frac {dy}{du}}{\frac {d\delta z}{dv}}=\zeta {\frac {d\delta z}{dx}}\,;\end{aligned}}$

et au moyen de ces valeurs, celle de $\delta z'$ devient

$\delta z'={\frac {d\delta z}{dx}}-z'{\frac {d\delta x}{dx}}-z_{_{'}}{\frac {d\delta y}{dx}}.$

Je fais, pour abréger,

$\delta z-z'\delta x-z_{_{'}}\delta y=\omega \,;$

il en résulte enfin

$\delta z'=z''\delta x+z'_{_{'}}\delta y+\omega '\,;$

et l’on trouvera de même

$\delta z_{_{'}}=z'_{_{'}}\delta x+z_{_{''}}\delta y+\omega _{_{'}}.$

Ces expressions très-simples de $\delta z'$ et $\delta z_{_{'}}$ sont, comme on voit, indépendantes de toute relation particulière qu’on aurait pu établir entre $x$ et $y,$ et les variables auxiliaires $u$ et $v.$ On en déduit aisément les expressions de $\delta z'',\,\delta z'_{_{'}},\,\delta z_{_{''}},$ etc.

En effet, à cause de ${\frac {d\omega }{dx}}=\omega ',\,{\frac {d\omega }{dy}}=\omega _{_{'}},$ et en mettant à la place de ce que cette lettre représente, on a

$\left.{\begin{aligned}\delta z'-z''\delta x-z'_{_{'}}\delta y=&{\frac {d(\delta z-z'\delta x-z_{_{'}}\delta y)}{dx}},\\\delta z_{_{'}}-z'_{_{'}}\delta x-z_{_{''}}\delta y=&{\frac {d(\delta z-z'\delta x-z_{_{'}}\delta y)}{dy}}\,;\end{aligned}}\right\}$ (1)