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On a, pour l’intégrale indéfinie,

$\int {\frac {d.\mathrm {S} \omega }{ds}}ds=\mathrm {S} \omega +$constante ;

et comme $\mathrm {S} \omega$ a la même valeur aux deux limites $s=0$ et $s=l,$ qui répondent à un même point de la courbe fermée $\mathrm {ABC} ,$ il s’ensuit

$\int _{0}^{l}{\frac {d.\mathrm {S} \omega }{ds}}ds=0,$

et par conséquent

$\int _{0}^{l}\left({\frac {d.\mathrm {S} \omega }{dx}}\right)\cos .\beta \,ds=-\int _{0}^{l}\left({\frac {d.\mathrm {S} \omega }{dy}}\right){\frac {dy}{dx}}\cos .\beta \,ds\,;$

ce qui réduit à

$\int _{0}^{l}\left({\frac {d.\mathrm {S} \omega }{dy}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\cos .\beta +\cos .\alpha \right)ds=0,$

l’équation qu’il s’agit de vérifier.

Or si l’on appelle $a$ et $b$ les angles que la tangente au point quelconque $\mathrm {M}$ de la courbe $\mathrm {ABC}$ fait avec les axes des $x$ et des $y,$ il faudra prendre dans cette équation, où les différentielles $dx$ et $dy$ peuvent être positives ou négatives,

$dx=\cos .a\,ds,\qquad dy=\cos .b\,ds\,;$

ce qui la changera en celle-ci :

$\int _{0}^{l}\left({\frac {d.\mathrm {S} \omega }{dy}}\right)(\cos .\alpha \cos .a+\cos .\beta \cos .b){\frac {ds}{\cos .a}}=0\,;$

résultat évident, puisque le facteur $\cos .\alpha \cos .a+\cos .\beta \cos .b$