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La figure suppose que chaque parallèle à l’axe des $y$ ne rencontre la courbe fermée $\mathrm {ABC}$ qu’en deux points seulement ; mais cette transformation de l’équation $\Gamma ^{(1)}=0$ aurait encore lieu, si le nombre des intersections, qui doit toujours être pair, était plus grand que deux : on prendrait alors successivement pour les deux ordonnées $\mathrm {PM}$ et $\mathrm {PM} ',$ qui répondent à une même abscisse, celles de la première et de la seconde intersection, de la troisième et de la quatrième, etc.

(23) Avant d’aller plus loin, nous pouvons actuellement vérifier l’équation (5).

En effet, d’après ce qu’on vient de voir, la partie de cette équation qui répond à la courbe extérieure, est la mème chose que

$\int _{0}^{l}\left({\frac {d.\mathrm {S} \omega }{dx}}\right)\cos .\beta \,ds=\int _{0}^{l}\left({\frac {d.\mathrm {S} \omega }{dy}}\right)\cos .\alpha \,ds\,;$

les parenthèses indiquant que chaque différence partielle est prise par rapport à l’une des variables $x$ ou $y,$ avant d’avoir substitué dans $\mathrm {S} \omega$ la valeur de l’autre variable, tirée de l’équation de la courbe $\mathrm {ABC} .$ Si l’on différentie par rapport à $x,$ après avoir substitué la valeur de $y,$ on aura

${\frac {d.\mathrm {S} \omega }{dx}}=\left({\frac {d.\mathrm {S} \omega }{dx}}\right)+\left({\frac {d.\mathrm {S} \omega }{dy}}\right){\frac {dy}{dx}}\,;$

et à cause de

${\frac {d.\mathrm {S} \omega }{ds}}={\frac {d.\mathrm {S} \omega }{dx}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {d.\mathrm {S} \omega }{dx}}\cos .\beta ,$

il en résultera

$\int _{0}^{l}\left({\frac {d.\mathrm {S} \omega }{dx}}\right)\cos .\beta \,ds=\int _{0}^{l}{\frac {d.\mathrm {S} \omega }{ds}}ds-\left({\frac {d.\mathrm {S} \omega }{dy}}\right){\frac {dy}{dx}}\cos .\beta \,ds.$