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les termes hors du signe $\int$ se détruisant, à cause qu’ils seraient la différence des deux valeurs d’une même quantité, relatives aux deux limites $s=0$ et $s=l,$ c’est-à-dire, à un même point de la courbe fermée $\mathrm {ABC} .$ On a d’ailleurs

${\frac {d\mathrm {R} }{ds}}=\mathrm {R} '{\frac {dx}{ds}}+\mathrm {R} _{_{'}}{\frac {dy}{ds}},\qquad {\frac {d\mathrm {T} }{ds}}=\mathrm {T} '{\frac {dx}{ds}}+\mathrm {T} _{_{'}}{\frac {dy}{ds}}.$

Si donc, nous faisons pour abréger,

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {P} -&{\frac {1}{2}}\mathrm {S} _{_{'}}&&-\mathrm {R} '\left(1+{\frac {dx^{2}}{ds^{2}}}\right)&&+\mathrm {T} '{\frac {dx^{2}}{ds^{2}}}&&+(\mathrm {T} -\mathrm {R} ){\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}&&=\mathrm {X} ,\\\mathrm {Q} -&{\frac {1}{2}}\mathrm {S} '&&-\mathrm {T} _{_{'}}\left(1+{\frac {dy^{2}}{ds^{2}}}\right)&&+\mathrm {R} _{_{'}}{\frac {dy^{2}}{ds^{2}}}&&+(\mathrm {R} -\mathrm {T} ){\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}&&=\mathrm {Y} ,\\\end{alignedat}}$

$\mathrm {R} {\frac {dy^{2}}{ds^{2}}}-\mathrm {S} {\frac {dx}{ds}}{\frac {dy}{ds}}+\mathrm {T} {\frac {dx^{2}}{ds^{2}}}=\mathrm {Z} ,$

l’équation (6) deviendra finalement

${\begin{aligned}\int _{0}^{l}\mathrm {V} \left({\frac {dx}{ds}}\delta y-{\frac {dy}{ds}}\delta x\right)ds&+\int _{0}^{l}\left(\mathrm {Y} {\frac {dx}{ds}}-\mathrm {X} {\frac {dy}{ds}}\right)\omega \,ds\\&+\int _{0}^{l}\mathrm {Z} \theta \,ds=0\,;\end{aligned}}\qquad$(7)

ce qui est la forme la plus simple qu’on puisse lui donner.

(25) Dans les problèmes auxquels on appliquera cette équation, il arrivera quelquefois que la longueur de la courbe extérieure à laquelle elle se rapporte, ou, plus généralement, une ou plusieurs intégrales prises dans toute cette longueur, auront des valeurs données. Il suffira de considérer une de ces intégrales ; on aurait égard à toutes les autres de la même manière ; et, pour plus de simplicité, nous supposerons que