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la fonction différentielle contenue sous le signe $\int ,$ soit seulement du premier ordre.

Soit donc, en un point quelconque de la courbe extérieure,

${\frac {dx}{dz}}=x',\qquad {\frac {dy}{dz}}=y'\,;$

désignons par $\mathrm {W}$ une fonction donnée de $x,\,y,\,z,\,x',\,y',$ et supposons qu’on ait

$\int \mathrm {W} \,dz=\sigma \,;$

$\sigma$ étant une constante donnée, et l’intégrale s’étendant à la longueur entière de cette courbe, de sorte qu’elle soit la même chose que $\int _{0}^{l}\mathrm {W} {\frac {dz}{ds}}ds.$

Pour avoir égard à cette équation, il suffira, d’après la remarque du n^o 13, d’ajouter à $\mathrm {U}$ l’intégrale $\int \mathrm {W} dz$ multipliée par une constante indéterminée que je représenterai par $c.$ Cela étant, le premier membre de l’équation (7) se trouvera augmenté du terme

$c\delta .\int \mathrm {W} \,dz.$

Or, si l’on fait

${\frac {d\mathrm {W} }{dx}}=\mu ,\quad {\frac {d\mathrm {W} }{dy}}=\nu ,\quad {\frac {d\mathrm {W} }{dx'}}=m,\quad {\frac {d\mathrm {W} }{dy'}}=n,$

ce terme aura pour valeur

$c\int \left[\left(\mu -{\frac {dm}{dz}}\right)(\delta x-x'\delta z)+\left(\nu -{\frac {dn}{dz}}\right)(\delta y-y'\delta z)\right]dz,$