Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 12.djvu/419

en regardant $x$ et $y$ comme des fonctions de $z,$ dans la formule (5) du n^o 7, et observant que la partie comprise hors du signe $\int$ se détruit, à cause que la courbe que l’on considère est une courbe fermée.

Supposons actuellement que cette courbe doive être tracée sur une surface dont nous représenterons l’équation différentielle par

$dz=p\,dx+q\,dy\,;$

$p$ et $q$ étant des fonctions données de $x,\,y,\,z.$ On verra tout à l’heure comment le cas d’une courbe entièrement libre est compris dans celui que nous supposons. Les coordonnées $x,\,y,\,z,$ d’un point quelconque de cette courbe, et ce qu’elles deviennent, savoir, $x+\delta x,\,y+\delta y,\,z+\delta z,$ quand on les fait varier, devront satisfaire successivement à l’équation de la surface donnée ; par conséquent, on pourra aussi la différentier par rapport à la caractéristique $\delta \,;$ et l’on aura

$\delta z=p\delta x+q\delta y,$

en même temps que l’équation précédente. On conclut de là

${\begin{aligned}(\delta x-x'\delta z)=&q(dy\,\delta x-dx\,\delta y),\\(\delta y-y'\delta z)=&p(dx\,\delta y-dy\,\delta x)\,;\end{aligned}}$

si donc on fait, pour abréger,

$\mu -{\frac {dm}{dz}}=h,\qquad \nu -{\frac {dn}{dz}}=k,$

le terme qu’il faudra ajouter à l’équation (7) deviendra

$c\int _{0}^{l}(kp-hq)\left({\frac {dx}{ds}}\delta y-{\frac {dy}{ds}}\delta x\right)ds.$