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tangente à la surface demandée, en un point quelconque de cette même courbe. Cela posé, si la seconde limite de $\mathrm {U}$ n’est astreinte à aucune condition donnée, les trois variations $\varepsilon ,\,\varphi ,\,\theta ,$ seront entièrement arbitraires et indépendantes entre elles ; pour que l’équation (7) subsiste, il faudra donc que leurs coefficients sous le signe $\int$ soient séparément nuls ; et il en résultera ces trois équations :

$\mathrm {V} =0,\qquad \mathrm {Y} {\frac {dx}{ds}}-\mathrm {X} {\frac {dy}{ds}}=0,\qquad \mathrm {Z} =0.\qquad$(8)

Lorsque la seconde limite de $\mathrm {U}$ devra satisfaire à des conditions données, les trois variations $\varepsilon ,\,\varphi ,\,\theta ,$ ne seront plus indépendantes ; et les équations (8), ou, du moins, une ou deux d’entre elles, u’auront plus lieu, et devront être remplacées par d’autres équations. Voici, à cet égard, les principaux cas qui pourront se présenter.

1^o  Supposons que la courbe extérieure soit fixe et donnée, et représentons ses deux équations par

$f(x,y,z)=0,\qquad \operatorname {F} (x,y,z)=0.\qquad$(9)

D’après la signification de $\varepsilon$ et $\varphi ,$ ces variations seront nulles ; ce qui fera disparaître les deux premiers termes de l’équation (7). Les deux premières équations (8) ne seront donc plus nécessaires ; et elles se trouveront remplacées par les équations (9).

Supposons de plus que la surface demandée doive toucher, dans toute la longueur de la courbe extérieure, une surface fixe et donnée, qui sera, par exemple, celle dont l’équation est

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,$