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et dont je représenterai l’équation différentielle par

$dz=p\,dx+q\,dy.$

Il faudra, pour ce contact, que l’on ait

$p=z',\qquad q=z_{_{'}},$

dans tous les points de la courbe extérieure ; mais ce ne sont pas deux nouvelles équations, distinctes l’une de l’autre ; car la courbe étant déja l’intersection de la surface demandée et de la surface donnée, la différentielle $dz,$ prise suivant sa direction, a la même valeur, soit qu’on la déduise de l’équation de la première ou de la seconde surface, ou autrement dit, on a déja

$p\,dx+q\,dy=z'dx+z_{_{'}}dy\,;$

au moyen de quoi, l’une des équations $p=z'$ et $q=z_{_{'}}$ est une suite de l’autre.

D’un autre côté, la variation $\varphi$ et par suite $\omega ,$ seront nulles, non-seulement pour tous les points de la courbe extérieure, mais même pour tous ceux d’une zone infiniment étroite dont cette courbe fera partie ; on pourra donc différentier l’équation $\omega =0,$ suivant la direction de cette courbe et suivant toute autre direction ; par conséquent, on aura, dans toute sa longueur,

${\frac {d\omega }{ds}}=0,\qquad \omega '=0,\qquad \omega _{_{'}}=0\,;$

ce qui rendra nulle la quantité $\theta$ du n^o 24, et fera disparaître le troisième terme de l’équation (7).

Ainsi, dans ce premier cas, les trois variations $\varepsilon ,\,\varphi ,\,\theta ,$