pour les trois équations relatives à ce cinquième et dernier cas. Elles coïncident, comme cela devait être, avec les équations (8), lorsqu’on y fait ce qui revient à supprimer la condition d’une valeur donnée de l’intégrale en sorte qu’il n’existe plus aucune condition donnée, à laquelle la seconde limite de soit assujétie.
(27) Tous ces raisonnements conviennent également à la première limite de et par les détails où nous venons d’entrer, on voit que les conditions du maximum ou du minimum de cette intégrale double, consistent en ce que, pour chaque limite, la surface demandée doit satisfaire simultanément à trois équations connues, qui seront données directement, ou qu’on formera, comme on vient de l’expliquer, dans les différents cas qui pourront se présenter. Ces deux systèmes de trois équations serviront à la détermination des quatre fonctions arbitraires que renfermera l’intégrale complète de l’équation
Lorsque la fonction différentielle ne sera que du premier ordre, on aura
l’équation aux différences partielles ne sera plus que du second ordre ; on aura aussi
et les équations du numéro précédent se simplifieront et se réduiront à deux pour chaque limite de
Si l’on veut appliquer les formules du numéro précédent au cas d’une integrale simple, il faudra supposer que la
