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quantité $\mathrm {V}$ ne soit fonction que de $x,\,z,\,z',\,z''\,;$ d’où il résultera

$\mathrm {Q} =0,\qquad \mathrm {S} =0,\qquad \mathrm {T} =0.$

Il faudra, en mêmc temps, que la zone de la surface demandée à laquelle appartiendra l’intégrale $\mathrm {U}$ soit comprise entre des plans parallèles à celui des $y$ et $z.$ La courbe $\mathrm {ABC}$ se réduira donc au système de deux droites parallèles à l’axe des $y,$ limite des courbes ovales dont une dimension s’est allongée indéfiniment ; et comme dans les équations dont il s’agit, les différentielles de $x$ et $y$ se rapportent à cette courbe, et que la différentielle $ds$ est supposée constante, il y faudra faire

$dx=0,\qquad d^{2}x=0,\qquad dy=ds,\qquad d^{2}y=0.$

La condition relative à la longueur n’aura plus lieu, en sorte qu’on devra aussi supprimer les termes qui en proviennent, ou faire $c=0.$ Cela étant, les équations du numéro précédent coïncideront, dans tous les cas, avec celles qu’on déduirait du n^o 5, en observant que les quantités qui ont été représentées par $y$ et $\mathrm {Q}$ dans ce numéro, le sont maintenant par $z$ et $\mathrm {R} ,$ et que la fonction $\mathrm {V}$ étant supposée du second ordre, les quantités $\mathrm {R,S} ,$ etc., de ce même numéro, sont égales à zéro. Cette coïncidence fournirait, s’il en était besoin, une confirmation de notre analyse relative aux intégrales doubles.

(28) Il y a des problèmes particuliers dans lesquels la courbe qui termine intérieurement la surface demandée, suivant l’hypothèse du n^o 22, n’existe pas, et où par conséquent, les conditions relatives à cette courbe doivent être remplacées par d’autres, afin que les fonctions arbitraires,