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$\iint \left({\frac {1}{\rho }}+{\frac {1}{\xi }}\right)^{2}d\sigma .$

Par la théorie connue de la courbure des surfaces, on sait que la somme ${\frac {1}{\rho }}+{\frac {1}{\xi }}$ a la même valeur pour tous les couples de sections normales et rectangulaires, faites par un même point. D’après les notations précédentes, cette valeur est

${\frac {1}{\rho }}+{\frac {1}{\xi }}={\frac {\left(1+z_{_{'}}^{2}\right)z''-2z'z_{_{'}}z'_{_{'}}+\left(1+z'^{2}\right)z_{_{'}}}{\left(1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

ou, ce qui est la même chose,

${\frac {1}{\rho }}+{\frac {1}{\xi }}=u'+v_{_{'}},$

en faisant, pour abréger,

$u={\frac {z'}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}},\qquad v={\frac {z_{_{'}}}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}}.$

On aura en même temps

$d\sigma ={\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}dx\,dy.$

Si donc on désigne par $c$ une constante indéterminée, et qu’on prenne

$\mathrm {V} =(u'+v_{_{'}})^{2}+2c{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}},$

la question consistera (n^o 21) à rendre un minimum absolu, l’intégrale $\iint \mathrm {V} \,dx\,dy.$

La quantité $\mathrm {N}$ du n^o 19 sera nulle, et $\mathrm {P,\,Q,\,R,\,S,\,T} ,$ auront pour valeurs :