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de sorte qu’on ait

$x=r\cos .\theta ,\qquad y=r\sin .\theta .$

L’ordonnée $z$ deviendra une fonction de $r$ et $\theta \,;$ on en conclura

${\begin{aligned}{\frac {dz}{dr}}=&z'\cos .\theta +z_{_{'}}\sin .\theta ,\\{\frac {dz}{d\theta }}=&z_{_{'}}r\cos .\theta -z'r\sin .\theta \,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}z'=&{\frac {dz}{dr}}\cos .\theta -{\frac {dz}{d\theta }}{\frac {\sin .\theta }{r}},\\z_{_{'}}=&{\frac {dz}{dr}}\sin .\theta +{\frac {dz}{d\theta }}{\frac {\cos .\theta }{r}}\,;\end{aligned}}$

et comme il faudra remplacer l’élément $dx\,dy$ par $r\,dr\,d\theta ,$ l’équation (b) deviendra

$\lambda \,g={\frac {1}{2}}\iint \left({\frac {dz^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dz^{2}}{d\theta ^{2}}}\right)r\,dr\,d\theta .\qquad \qquad$(c)

En mettant $z'$ au lieu de $z$ dans la valeur de $z',$ nous aurons

$z''={\frac {dz'}{dr}}\cos .\theta -{\frac {dz'}{d\theta }}{\frac {\sin .\theta }{r}}\,;$

en différentiant cette même valeur de $z'$ successivement par rapport à $r$ et à $\theta ,$ il vient

${\begin{aligned}{\frac {dz'}{dr}}=&{\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}\cos .\theta -{\frac {d^{2}z}{dr\,d\theta }}{\frac {\sin .\theta }{r}}+{\frac {dz}{d\theta }}{\frac {\sin .\theta }{r^{2}}},\\{\frac {dz'}{d\theta }}=&{\frac {d^{2}z}{dr\,d\theta }}\cos .\theta -{\frac {d^{2}z}{d\theta ^{2}}}{\frac {\sin .\theta }{r}}-{\frac {dz}{dr}}\sin .\theta -{\frac {dz}{d\theta }}{\frac {\cos .\theta }{r}}\,;\end{aligned}}$

d’où il résultera

$z''={\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}\cos .^{2}\theta -2{\frac {d^{2}z}{dr\,d\theta }}{\frac {\sin .\theta \cos .\theta }{r}}+{\frac {d^{2}z}{d\theta ^{2}}}{\frac {\sin .^{2}\theta }{r^{2}}}$

$+{\frac {dz}{dr}}{\frac {\sin .^{2}\theta }{r}}+2{\frac {dz}{d\theta }}{\frac {\sin .\theta \cos .\theta }{r}}.$