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On trouvera de même

$z_{_{''}}={\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}\sin .^{2}\theta +2{\frac {d^{2}z}{dr\,d\theta }}{\frac {\sin .\theta \cos .\theta }{r}}+{\frac {d^{2}z}{d\theta ^{2}}}{\frac {\cos .^{2}\theta }{r^{2}}}$

$+{\frac {dz}{dr}}{\frac {\cos .^{2}\theta }{r}}-2{\frac {dz}{d\theta }}{\frac {\sin .\theta \cos .\theta }{r^{2}}}.$

Les mêmes transformations s’appliqueront aux différences $\zeta ''$ et $\zeta _{_{''}}\,;$ et cela étant, les équations (a) se changeront en celles-ci :

$\left.{\begin{alignedat}{3}{\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}+&{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}z}{d\theta ^{2}}}&&+{\frac {1}{r}}{\frac {dz}{dr}}&&=\zeta ,\\{\frac {d^{2}\zeta }{dr^{2}}}+&{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}\zeta }{d\theta ^{2}}}&&+{\frac {1}{r}}{\frac {d\zeta }{dr}}&&=c\,\zeta .\qquad \end{alignedat}}\right\}(d)$

D’après l’hypothèse du numéro précédent, et en supposant que les courbes extérieure et intérieure qui terminent la surface demandée, soient déterminées par les mêmes équations que dans le n^o 28, il faudra que la valeur de $z$ que l’on obtiendra par l’intégration des équations (d), satisfasse simultanément aux trois équations

$r=\operatorname {F} \,\theta ,\qquad z=\Phi \,\theta ,\qquad \zeta =0,\qquad \qquad (e)$

relatives à la limite extérieure de cette surface, et, en outre, aux trois équations simultanées

$r=f\,\theta ,\qquad z=\varphi \,\theta ,\qquad \zeta =0,\qquad \qquad (f)$

qui répondent à sa limite intérieure. Dans le cas le plus ordinaire, cette seconde limite n’existera pas ; d’après ce qu’on a expliqué plus haut, on remplacera les équations $(f)$ par la condition que la valeur de $z$ qui répond à $r=0$ ne devienne point infinie ; et il faudra qu’il en soit de même à l’égard de $\zeta ,$ puisqu’on a supposé dans le numéro précédent que les