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différences partielles de $z,$ et par conséquent $\zeta ,$ sont de très-petites quantités dans toute l’étendue de la surface que l’on considère. Afin qu’il ne reste aucun doute sur ce dernier cas, je vais effectuer tous les calculs dans l’hypothèse la plus propre à les simplitier, c’est-à-dire, en supposant que la lame élastique est circulaire et que sa figure d’équilibre est celle d’une surface de révolution.

(31) Si l’on prend l’axe de cette surface pour celui des $z,$ les quantités $\zeta$ et $z$ seront indépendantes de $\theta ,$ et les équations $(d)$ se réduiront à

${\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {dz}{dr}}=\zeta ,\qquad {\frac {d^{2}\zeta }{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d\zeta }{dr}}=c\,\zeta ,\qquad \qquad (g)$

En appelant $\alpha$ le rayon donné de la projection de la lame sur le plan des coordonnées $r$ et $\theta ,$ on aura $\lambda =\pi \,\alpha ^{2}\,;$ l’intégrale double que renferme l’équation $(c)$ s’étendra depuis $\theta =0$ et $r=0$ jusqu’à $\theta =2\pi$ et $r=\alpha ,$ et cette équation deviendra

$g={\frac {1}{2}}\beta ^{2}\,;$

$\beta$ désignant la valeur de ${\frac {dz}{dr}}$ qui répond à $r=\alpha ,$ ou, autrement dit, l’inclinaison du plan tangent de la lame sur le plan de projection, en un point quelconque de son contour. Lorsque cette inclinaison sera donnée, on en conclura immédiatement le rapport $1+g$ de l’aire de la lame à l’aire de sa projection, et réciproquement. On peut supposer que le plan des coordonnées $r$ et $\theta$ soit celui du contour de la lame ; les équations $(e)$ seront alors

$r=\alpha ,\qquad z=0,\qquad \zeta =0.\qquad \qquad (h)$