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ce qui réduit l’équation précédente à

${\frac {d^{2}\zeta }{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d\zeta }{dr}}=ac\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }d\omega +bc\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega ,$

laquelle coincide avec la seconde équation $(c),$ en vertu de la valeur de $\zeta .$

Je fais $b=0,$ et je supprime le second terme de cette valeur, sans quoi la quantité $\zeta$ deviendrait très-grande près du centre de la lame, et infinie à ce centre même. On aura donc simplement

$\zeta =a\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }d\omega ,$

ou, ce qui est la même chose,

$\zeta =a\left(\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }d\omega +\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }e^{r{\sqrt {c}}\cos .\omega }d\omega \right).$

En vertu de la troisième équation $(h),$ il en résultera

$\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }e^{-\alpha {\sqrt {c}}\cos .\omega }d\omega +\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }e^{\alpha {\sqrt {c}}\cos .\omega }d\omega =0\,;$

et si l’on remplace $c\alpha ^{2}$ par une autre constante $-\gamma ^{2},$ on aura

$\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos .(\gamma \cos .\omega )d\omega =0,\qquad \qquad (i)$

pour déterminer $\gamma .$ La valeur de $\zeta$ deviendra

$\zeta =a\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos .{\frac {\gamma \,r\,\cos .\omega }{\alpha }}d\omega ,$