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en y mettant ${\frac {1}{2}}a$ au lieu de $a.$ Je la substitue dans la première équation $(g)\,;$ en intégrant ensuite, il vient

${\frac {dz}{dr}}={\frac {a\alpha }{\gamma }}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\sin .{\frac {\gamma r\cos .\omega }{\alpha }}{\frac {d\omega }{\cos .\omega }}$

$-{\frac {a\alpha ^{2}}{\gamma ^{2}r}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\left(1-\cos .{\frac {\gamma r\cos .\omega }{\alpha }}\right){\frac {d\omega }{\cos .^{2}\omega }}+{\frac {\mathrm {C} }{r}}\,;$

$\mathrm {C}$ étant la constante arbitraire. Pour que ${\frac {dz}{dr}}$ ne devienne pas très-grand pour de très-petites valeurs de $r,$ et infini pour $r=0,$ il faut qu’on ait $\mathrm {C} =0.$ Pour $r=\alpha ,$ on aura ensuite

$\beta ={\frac {a\alpha }{\gamma }}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\sin .(\gamma r\cos .\omega ){\frac {d\omega }{\cos .\omega }}-{\frac {a\alpha }{\gamma ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\left[1-\cos .(\gamma \cos .\omega )\right]{\frac {d\omega }{\cos .^{2}\omega }}\,;$

équation qui servira à déterminer la constante $a,$ d’après la valeur donnée de $\beta$ ou ${\sqrt {2g}}.$ En intégrant de nouveau, et désignant par $f$ la constante arbitraire, nous aurons enfin

$z=f+{\frac {a\alpha ^{2}}{\gamma ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\left(1-\cos .{\frac {\gamma r\cos .\omega }{\alpha }}\right){\frac {d\omega }{\cos .^{2}\omega }}$

$-{\frac {a\alpha ^{2}}{\gamma ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\left[\int \left(1-\cos .{\frac {\gamma r\cos .\omega }{\alpha }}\right){\frac {dr}{r}}\right]{\frac {d\omega }{\cos .^{2}\omega }},$

pour l’équation de la surface demandée. Si l’on suppose que l’intégrale relative à $r,$ qui est indiquée dans le dernier terme de cette formule, commence avec $r,$ la constante $f$ sera la flèche de cette surface, c’est-à-dire, la valeur de l’ordonnée $z$ correspondante à son centre, ou à $r=0.$ D’après la seconde équation $(h),$ la valeur de $f$ sera