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$f={\frac {a\alpha ^{2}}{\gamma ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\left[\int _{0}^{\alpha }\left(1-\cos .{\frac {\gamma r\cos .\omega }{\alpha }}\right){\frac {dr}{r}}\right]{\frac {d\omega }{\cos .^{2}\omega }}$

$-{\frac {a\alpha ^{2}}{\gamma ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\left[1-\cos .(\gamma \cos .\omega )\right]{\frac {d\omega }{\cos .^{2}\omega }}.$

Nous pouvons remplacer par des séries convergentes, les intégrales définies qui entrent dans ces différentes formules. De cette manière, l’équation $(i)$ deviendra

$1-\gamma ^{2}+{\frac {\gamma ^{4}}{(1.2)^{2}}}-{\frac {\gamma ^{6}}{(1.2.3)^{2}}}+{\text{etc}}.=0,\qquad \qquad (k)$

en y mettant $2\gamma$ au lieu de $\gamma .$ Les valeurs de $\gamma ^{2}$ qu’on en déduit, en nombre infini, sont, comme on sait, toutes réelles et positives la plus petite est, à très-peu près^[1],

$\gamma ^{2}=1{,}46796491.$

On aura, en même temps,

${\begin{aligned}&\zeta ={\frac {1}{2}}\pi \,a\left(1-{\frac {\gamma ^{2}r^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {\gamma ^{4}r^{4}}{(1.2)^{2}\alpha ^{4}}}-{\frac {\gamma ^{6}r^{6}}{(1.2.3)^{2}\alpha ^{6}}}+{\text{etc}}.\right),\\&{\frac {dz}{dr}}={\frac {1}{4}}\pi \,ar\left(1-{\frac {\gamma ^{2}r^{2}}{2\alpha ^{2}}}+{\frac {\gamma ^{4}r^{4}}{3(1.2)^{2}\alpha ^{4}}}-{\frac {\gamma ^{6}r^{6}}{4(1.2.3)^{2}\alpha ^{6}}}+{\text{etc}}.\right),\\&z=f+{\frac {1}{8}}\pi \,ar^{2}\left(1-{\frac {\gamma ^{2}r^{2}}{4\alpha ^{2}}}+{\frac {\gamma ^{4}r^{4}}{9(1.2)^{2}\alpha ^{4}}}-{\frac {\gamma ^{6}r^{6}}{16(1.2.3)^{2}\alpha ^{6}}}+{\text{etc}}.\right).\end{aligned}}$

Les équations d’où dépendent les valeurs de $a$ et $f$ seront

${\begin{aligned}\beta =&{\frac {1}{4}}\pi \,a\,\alpha \left(1-{\frac {\gamma ^{2}}{2}}+{\frac {\gamma ^{4}}{3(1.2)^{2}}}-{\frac {\gamma ^{6}}{4(1.2.3)^{2}}}+{\text{etc}}.\right),\\0=&f+{\frac {1}{8}}\pi \,a\,\alpha ^{2}\left(1-{\frac {\gamma ^{2}}{4}}+{\frac {\gamma ^{4}}{9(1.2)^{2}}}-{\frac {\gamma ^{6}}{16(1.2.3)^{2}}}+{\text{etc}}.\right)\,;\end{aligned}}$

1. Ce nombre, qui se présente dans plusieurs problèmes, a été calculé par M. Largeteau, secrétaire du Bureau des longitudes.