en effet l’objet du fameux postulatum ou axiome XII ainsi conçu :
« Si une droite en rencontre deux autres , de manière que la somme des deux angles soit moindre que deux angles droits, les deux droites , prolongées suffisamment du côté de , devront se rencontrer. »
En partant de ce postulatum, rien de plus simple que de démontrer soit la théorie des parallèles, soit le théorème sur la somme des angles du triangle, car ces deux choses sont tellement liées l’une à l’autre, que la démonstration de l’ane entraîne nécessairement celle de l’autre. Mais la question a toujours été d’éviter le postulatum ou d’y suppléer d’une manière quelconque.
Après quelques recherches entreprises dans la vue de démontrer directement que la somme des angles d’un triangle est égale à deux angles droits, j’ai réussi d’abord à prouver que cette somme ne peut être plus grande que deux angles droits. Voici cette démonstration qui a paru pour la première fois dans la 3* édition de ma Géométrie, publiée en 1800.
2. Proposition A. La somme des trois angles d’un triangle rectiligne ne peut être plus grande que deux angles droits.
Démonstration. Soit, s’il est possible, un triangle Fig. dans lequel la somme des trois angles est plus grande que deux angles droits.
Sur prolongé prenez , faites l’angle et le côté , joignez et le triangle
