Observons d’abord que tout biangle oblique, c’est-à-dire Fig. 13. tout biangle dont l’angle n’est pas droit, peut se transformer en un biangle droit qui lui sera équivalent. En effet, si du milieu de la base on abaisse perpendiculaire sur et perpendiculaire sur la parallèle prolongée vers il est facile de prouver que les triangles rectangles sont égaux, et qu’ainsi est une seule ligne droite, perpendiculaire à la fois aux deux parallèles et divisée en deux parties égales au point
Nous aurons donc, par cette construction, un biangle droit qui sera équivalent au biangle oblique car on voit qu’il suffit d’ajouter le triangle au biangle oblique et d’en retrancher le triangle égal pour changer le biangle oblique en biangle droit. On voit de plus qu’en menant la droite perpendiculaire à le biangle droit sera partagé en deux parties égales par la droite car les deux biangles qui ont des bases égales peuvent être superposés et sont par conséquent égaux. Cela posé, nous allons commencer par démontrer le théorème suivant, d’où l’on peut aisément déduire toute la théorie des parallèles.
19. Théorème. Soient deux droites perpendiculaires Fig. 14. à une troisième et par conséquent parallèles entre elles ; si par un point quelconque pris sur on mène la droite perpendiculaire à et terminée à sa parallèle je dis 1o que la droite sera égale à 2o que cette même droite perpendiculaire à sera aussi perpendiculaire à sa parallèle
