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Troisième théoréme. Si, dans l’intérieur d’un cercle décrit avec le rayon R, on trace une ou plusieurs courbes fermées, et si le système de ces courbes ne peut être traversé par une même droite en plus de 2m points, la somme des contours ou périmètres de ces courbes ne dépassera pas le produit de la circonférence $2\pi R$ par le nombre $m.$

Démonstration. En effet, dans l’hypothèse admise, on aura évidemment, quel que soit $p,$

$A<2m.2R,$

et par suite la formule (2) donnera

(7)

$S<m.2\pi R.$

Corollaire. Si $S$ se réduit au périmètre d’une courbe convexe, on aura, $m=1,$

(8)

$S<2\pi R.$

Des théorèmes, analogues à ceux qui précèdent, peuvent être appliqués à la quadrature des surfaces courbes et démontrés de la même manière. Nous nous contenterons d’énoncer ici l’un d’entre eux, duquel tous les autres se déduisent facilement.

Quatriéme théorème. $p$ désignant l’angle formé par une droite quelconque $\mathrm {OO} '$ avec un axe fixe $\mathrm {OP}$, $q$ l’angle formé par le plan des droites $\mathrm {OP}$, $\mathrm {OO} '$ avec un plan fixe qui renferme la première, $S$ le système d’une ou de plusieurs surfaces planes ou courbes, et $A$ la somme des projections absolues des divers éléments de $S$ sur un plan $\mathrm {HIK}$ perpendiculaire à la droite $\mathrm {OO} '$, on aura

(9)

$S={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{0}^{\pi }A\sin p\,dp\,dq.$