Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 22.djvu/179

${\frac {\pi abc}{R}}.$

On aura donc

(14)

$A={\frac {2\pi abc}{R}},\qquad S=abc\int _{-\pi }^{\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin pdp\,dq}{R}}.$

Dans le cas particulier où l’ellipsoide se réduit à une sphère, on a

$R=a=b=c,$

et par suite, comme on devait s’y attendre,

$S=R^{3}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{0}^{\pi }\sin pdp\,dq=4\pi R^{3}.$

Ajoutons que si, dans la seconde des formules (14), on substitue la valeur de $R$ tirée des formules (11) et (12), on pourra effectuer dans tous les cas l’intégration relative à $\mu ,$ et réduire ainsi la valeur de $S$ à une intégrale simple. L'intégration s’effectuera complètement, si l’ellipsoïde est de révolutionr.s

Post-scriptum. On pourrait donner du théorème 4 une démonstration analogue à celle du théorème i^er, en considérant d’abord le cas où l’on remplacerait les quantités $S,\,A$ par une surface plane $s$ et par la projection $a$ de cette surface sur le plan $\mathrm {HIK} \,;$ puis, en décomposant, dans le cas contraire, les surfaces $S,\,A$ en éléments infiniment petits et correspondants. On peut aussi déduire le théorème 4 d’une proposition analogue au théorème 2, et dont voici l’énoncé :

Cinquième théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème 4, construisons un polyèdre convexe, dont les faces équivalentes entre elles soient comprises entre deux sphères concentriques décrites avec les rayons