Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 22.djvu/208

La fonction génératrice étant donnée, la fonction $f(x)$ s’en déduit, mais seulement pour des valeurs entières de $x.$ La connaissance de la fonction génératrice ne suffit pas pour déterminer $f'(x),\,f''(x),\,etc\ldots$

À la vérité, en partant de l’équation

(3)

${\frac {dy}{dx}}=\Delta y-{\frac {1}{2}}\Delta ^{2}y+{\frac {1}{3}}\Delta ^{3}y\ldots ,$

dans laquelle $\Delta y=\Delta f(x)=f(x+1)-f(x),$ et observant que $\Delta ^{x}y$ a pour fonction génératrice $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{x},$ on trouverait

(4)

$u\,\operatorname {l} \left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)=u\,\operatorname {l} (t),$

pour fonction génératrice de ${\frac {dy}{dx}}=f'(x).$ Mais la formule (3), qui est exacte pour des fonctions entières, cesse de l’être pour des fonctions quelconques. Le second membre ne varie pas quand on y fait croître $y$ d’une fonction périodique de $x,$ tandis que le premier membre change alors de valeur. Si l’on fait par exemple

$y=sin(2\pi x),$

cette équation donnera

$\cos(2\pi x)=0,$

quel que soit $x,$ ce qui est absurde. On ne voit pas, d’ailleurs, comment le développement de $u\,\operatorname {l} (t)$ suivant les puissances ascendantes de $t$ pourrait s’effectuer.

Une autre difficulté que présente le calcul des fonctions génératrices, consiste en ce que l’on regarde

(5)

${\frac {u}{t}}={\frac {y_{0}}{t}}+y_{1}+y_{2}t+\ldots +y_{x+1}t^{x}+\ldots$