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(6)

$\sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''}}\sum \varphi (\mu )=\varphi (\mu ')+\varphi (\mu '+1)+\ldots +\varphi (\mu ''-1),$

et $x$ étant renfermé entre les limites $\mu ',\,\mu ''.$ On pourrait écrire encore

(7)

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }\sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''+1}}\sum e^{(a+\alpha i)(x-\mu )}f(\mu )d\alpha .$

Si l’on supposait $x,\,\mu ',\,\mu ''$ multiples de $h,$ et de plus

(8)

$\sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''}}\sum \varphi (\mu )=\varphi (\mu ')+\varphi (\mu '+h)+\ldots +\varphi (\mu ''-h),$

on trouverait

(9)

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }\sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''+h}}\sum e^{\upsilon \left({\frac {x-\mu }{h}}\right)i}f(\mu )d\upsilon ,$

ou, ce qui revient au même,

(10)

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {\pi }{h}}}^{\frac {\pi }{h}}\sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''+h}}\sum e^{\alpha (x-\mu )i}f(\mu ).h\,d\alpha ,$

puis, en posant $h=0,$

(11)

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{\mu '}^{\mu ''}e^{\alpha (x-\mu )i}f(\mu )d\mu \,d\alpha ,$

ce qui s’accorde avec la formule (1). On aurait encore, dans la même hypothèse,

(12)

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }\sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''+h}}\sum r^{\frac {x-\mu }{h}}e^{\upsilon \left({\frac {x-\mu }{h}}\right)i}f(\mu )d\upsilon ,$

ou, ce qui revient au même,

(13)

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {\pi }{h}}}^{\frac {\pi }{h}}\sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''+h}}\sum r^{\frac {x-\mu }{h}}e^{\alpha (x-\mu )i}f(\mu ).h\,d\alpha ,$

ou

(14)

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {\pi }{h}}}^{\frac {\pi }{h}}\sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''+h}}\sum e^{(a+\alpha i)(x-\mu )}f(\mu )h\,d\alpha ,$

$x$ étant renfermé entre les limites $\mu ',\mu '',$ et $r^{\frac {t}{h}}=e^{a}$ désignant une constante arbitraire.