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encore l’équation

(12)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )=\Phi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots ),$

en posant

(13)

$u={\frac {\Phi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots )}{\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )}}.$

On arriverait aux mêmes conclusions si, en attribuant à $x,y,z\ldots$ des valeurs entières, et partant de la formule

(14)

${\begin{aligned}f(x,y\ldots )=&\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{-\pi }^{+\pi }\int _{-\pi }^{+\pi }\ldots \sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''+1}}\sum \sideset {}{_{\nu '}^{\nu ''+1}}\sum \\&\ldots e^{\alpha (x-\mu )i}e^{\beta (y-\nu )i}\ldots f(\mu ,\nu \ldots )d\alpha \,d\beta \ldots .\end{aligned}}$

on regardait la notation

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots )$

comme généralement définie par l’équation

(15)

$\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots )=\\\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }&\ldots \sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''+1}}\sum \sideset {}{_{\nu '}^{\nu ''+1}}\sum \\&\ldots e^{\alpha (x-\mu )i}e^{\beta (y-\nu )i}\ldots f(\mu ,\nu \ldots ).\operatorname {F} (\alpha i,\beta i\ldots )d\alpha \,d\beta \ldots .\end{aligned}}\right.$

Concevons maintenant que, dans la formule (5), on pose $\mu '=-\infty ,$ $\mu ''=+\infty ,$ $v'=-\infty ,$ $v''=+\infty \ldots$ en sorte que, $\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\ldots )$ désignant une fonction quelconque, l’expression

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\ldots )f(x,y\ldots )$

soit définie par la formule

(16)

${\begin{aligned}\operatorname {F} (\alpha ,\beta \ldots )f(x,y\ldots )=&\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ldots e^{\alpha (x-\mu )i}e^{\beta (y-\nu )i}\\&\ldots f(\mu ,\nu \ldots ).\operatorname {F} (\alpha i,\beta i\ldots )d\alpha \,d\mu \ldots ,\end{aligned}}$

et posons en outre

(17)

$\varpi (x,y\ldots )=\operatorname {F} (\alpha ,\beta \ldots )f(x,y\ldots ),$

on aura, en désignant par $\phi (\alpha ,\beta \ldots )$ une fonction quelconque de $\alpha ,\beta \ldots ,$

(18)

${\begin{aligned}\varphi (\alpha ,\beta \ldots )\varpi (x,y\ldots )=&\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ldots e^{\alpha (x-\mu )i}e^{\beta (y-\nu )i}\\&\ldots \varphi (ai,bi\ldots )\varpi (m,n,\ldots )da\,dm\,db\,dn\ldots ,\end{aligned}}$

(19)

${\begin{aligned}\varpi (m,n,\ldots )=&\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ldots e^{\alpha (m-\mu )i}e^{\beta (n-\nu )i}\\&\ldots \operatorname {F} (\alpha i,\beta i\ldots )f(\mu ,\nu ,\ldots )d\alpha \,d\mu \,d\beta \,d\nu \ldots ,\end{aligned}}$