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Ainsi la valeur de $u,$ déterminée par l’équation (43), satisfait à l’équation (37). Si d’ailleurs on observe que cette valeur de $u$ s’évanouit pour $t=0,$ on arrivera aux conclusions suivantes.

Pour obtenir une valeur de $u$ qui soit propre à vérifier l’équation (37), quelle que soit la valeur de $t,$ et les conditions (17) lorsqu'on pose $t=0,$ il suffit de prendre

(46)

$u=u_{0}\mathrm {T} _{0}+u_{1}\mathrm {T} _{1}+\ldots +u_{n-1}\mathrm {T} _{n-1}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{t}{\frac {e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )(t-\tau )}f(\tau )d\tau \,d\theta }{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}},$

ou, ce qui revient au même,

(47)

$u={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\frac {\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )-\operatorname {F} (\mathrm {U} )}{\Theta +\theta \mathrm {i} -\mathrm {U} }}{\frac {e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}+\int _{0}^{t}{\frac {e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )(t-\tau )}f(\tau )d\tau }{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}\right]d\theta ,$

les puissances de $\mathrm {U}$ devant être remplacées par $u_{0},\,u_{1},\,u_{n-1},$ et $\Theta$ devant être supérieur ou inférieur aux parties réelles de toutes les racines, suivant que la variable $t$ est considérée comme positive ou comme négative. On peut encore présenter l’équation (47) sous la forme

(48)

$u={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\frac {\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )-\operatorname {F} (\mathrm {U} )}{\Theta +\theta \mathrm {i} -\mathrm {U} }}e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}+\int _{0}^{t}e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )(t-\tau )}f(\tau )d\tau \right]{\frac {d\theta }{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}$

$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\frac {\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )-\operatorname {F} (\mathrm {U} )}{\Theta +\theta \mathrm {i} -\mathrm {U} }}+\int _{0}^{t}{\frac {f(\tau )d\tau }{e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )\tau }}}\right]{\frac {e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}d\theta }{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}.$

Il est important de remarquer que, dans l’intégrale double que renferme le second membre de l’équation (41), la fonction

${\frac {1}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}$

ne devient infinie pour aucune valeur réelle de $\theta ,$ lorsque $\Theta$ est une limite supérieure ou inférieure aux parties réelles de toutes les racines. Il n’en serait plus de même si $\Theta$ devenait précisément égale à l’une des parties réelles dont il s’agit.