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les caractéristiques

(64)

$\operatorname {D} _{x}={\frac {d}{dx}},\qquad \operatorname {D} _{y}={\frac {d}{dy}},\ldots$

les dérivées d’une fonction de $x,y,z\ldots$ relatives à $x,y,z\ldots ,$ et par

(65)

$u={\frac {f(x,y,z\ldots )}{\operatorname {F} (\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y}\ldots )}}$

l’intégrale générale de l’équation

$\operatorname {F} (\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y}\ldots )u=f(x,y,z\ldots ),$

dans le cas où $\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )$ est une fonction entière de $\alpha ,\beta ,\gamma \ldots ,$ on aura généralement dans le même cas

(66)

$\operatorname {F} (\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\operatorname {D} _{z}\ldots )f(x,y,z\ldots )=\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots ).$

Mais l’expression

(67)

${\frac {f(x,y,z\ldots )}{\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )}},$

ne sera qu'une valeur particulière de

(68)

${\frac {f(x,y,z\ldots )}{\operatorname {F} (\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\operatorname {D} _{z}\ldots )}}.$

Ces conventions étant admises, l’équation (58) pourra être présentée sous la forme

(69)

$\operatorname {F} (\operatorname {D} _{t})u=f(t),$

et l’on en conclura facilement

(70)

$u={\frac {f(t)}{\operatorname {F} (\operatorname {D} _{t})}}={\frac {1}{\operatorname {F} '(\theta _{0})}}{\frac {f(t)}{\operatorname {D} _{t}-\theta _{0}}}+\ldots +{\frac {1}{\operatorname {F} '(\theta _{n-1})}}{\frac {f(t)}{\operatorname {D} _{t}-\theta _{n-1}}}.$

Cette dernière équation ramène l’expression

${\frac {f(t)}{\operatorname {F} (\operatorname {D} _{t})}}$

aux suivantes