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${\frac {f(t)}{\operatorname {D} _{t}-\theta _{0}}},\qquad {\frac {f(t)}{\operatorname {D} _{t}-\theta _{1}}},\ldots \qquad {\frac {f(t)}{\operatorname {D} _{t}-\theta _{n-1}}},$

c’est-à-dire qu'elle ramène l’intégrale générale de l’équation (69) à celles des équations

(71)

$(\operatorname {D} _{t}-\theta _{0})u=f(t),\ldots \qquad (\operatorname {D} _{t}-\theta _{n-1})u=f(t),$

ou, en d’autres termes, à celles des équations

(72)

${\frac {du}{dt}}-\theta _{0}u=f(t),\ldots \qquad {\frac {du}{dt}}-\theta _{n-1}u=f(t).$

Or, ces intégrales générales étant respectivement

(73)

$\left\{{\begin{aligned}&u=e^{\theta _{0}t}\left[c_{0}+\int _{0}^{t}e^{-\theta _{0}t}f(t)dt\right],{\text{ etc}}\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots u=e^{\theta _{n-1}t}\left[c_{n-1}+\int _{0}^{t}e^{-\theta _{n-1}t}f(t)dt\right],\end{aligned}}\right.$

l’équation (70) deviendra

(74)

$u={\frac {e^{\theta _{0}t}}{\operatorname {F} '(\theta _{0})}}\left[c_{0}+\int _{0}^{t}e^{-\theta _{0}t}f(t)dt\right]+\ldots +{\frac {e^{\theta _{n-1}t}}{\operatorname {F} '(\theta _{n-1})}}\left[c_{n-1}+\int _{0}^{t}e^{-\theta _{n-1}t}f(t)dt\right].$

Telle est la méthode la plus simple pour former l’intégrale générale de l’équation (38).

§ 5. Intégration des équations linéaires aux différences
partielles, et à coefficients constants.

Supposons qu'il s’agisse d’intégrer l’équation

(1)

$\operatorname {F} (\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\operatorname {D} _{z},\ldots \operatorname {D} _{t})u=f(x,y,z\ldots t),$

de manière que, pour $t=0,$

(2)

$u,\qquad {\frac {du}{dt}},\ldots \qquad {\frac {d^{m-1}u}{dt^{m-1}}},$

se réduisent à

(3)

$f_{0}(x,y,z\ldots ),\qquad f_{1}(x,y,z\ldots ),\ldots \qquad f_{m-1}(x,y,z\ldots ),$