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les valeurs de $\theta$ tirées de l’équation

(10)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots \theta )=0\,;$

on vérifiera l’équation

(11)

$\operatorname {F} (\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots \operatorname {D} _{t})\upsilon =0,$

en posant

(12)

$\upsilon =e^{t\varphi _{0}(\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots )}\psi _{0}(\mu ,\nu \ldots )+\ldots +e^{t\varphi _{m-1}(\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots )}\psi _{m-1}(\mu ,\nu \ldots )\,;$

et, en substituant cette valeur de $\upsilon$ dans la formule (4), puis adoptant les notations du paragraphe 3^e, on trouvera, pour l’intégrale générale de l’équation

(13)

$\operatorname {F} (\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\ldots \operatorname {D} _{t}).u=0,$

la formule

(14)

$u=e^{t\varphi (\alpha ,\beta \ldots )}\psi _{0}(x,y\ldots )+\ldots +e^{t\varphi _{m-1}(\alpha ,\beta \ldots )}\psi _{m-1}(x,y\ldots ).$

Si l’on ajoute au second membre de cette dernière une valeur particulière de $u$ propre à vérifier l’équation (1), telle que

(15)

$u={\frac {f(x,y,z\ldots t)}{\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots \theta )}},$

on trouvera, pour l’intégrale générale de l’équation (1),

(16)

$u=e^{t\varphi (\alpha ,\beta \ldots )}\psi _{0}(x,y\ldots )+\ldots +e^{t\varphi _{m-1}(\alpha ,\beta \ldots )}\psi _{m-1}(x,y\ldots )$

$+{\frac {f(x,y,z\ldots t)}{\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots \theta )}}.$

La valeur correspondante de $\upsilon$ serait

(17)

$\upsilon =e^{t\varphi _{0}(\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots )}\psi _{0}(\mu ,\nu \ldots )+\ldots +e^{t\varphi _{m-1}(\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots )}\psi _{m-1}(\mu ,\nu \ldots )$

$+{\frac {f(\mu ,\nu \ldots t)}{\operatorname {F} (\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots \theta \mathrm {i} )}},$

le dernier terme représentant l’intégrale

(18)

${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{\theta (t-\tau )\mathrm {i} }{\frac {f(\mu ,\nu \ldots \tau )}{\operatorname {F} (\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots \theta \mathrm {i} )}}d\tau \,d\theta .$